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Dynamique de réplicateur discret vs continu


Le réplicateur eqn dans le cas de générations discrètes non chevauchantes et de reproduction asexuée est donné par le discret eqn du réplicateur : $$x_i(t+1) = x_i (t)frac{f_i(t)}{ar f (t)}$$ où $x_i$ est la fréquence de la stratégie $i$ et chaque individu stratégie de jeu $i$ produit $f_i$ copies de lui-même dans la prochaine génération. $ar f$ est la forme physique moyenne. Ainsi egin{equation} Delta x_i = x_i(t) frac{(f_i(t) - ar f (t))}{ar f (t)} end{equation} Dans le cas où $ x_i$ est une variable continue, on a le continu eqn du réplicateur donné par $$dot x_i = x_i (f_i - ar f)$$

Question: Je suppose que nous devrions être en mesure de dériver l'eqn du réplicateur continu de l'eqn du réplicateur discret en évaluant l'eqn du réplicateur discret pour $lim_{Delta t o 0}$. Comment puis-je faire cette dérivation?


Pour faire cette dérivation, il vaut mieux se concentrer sur le taille de la population d'une stratégie par opposition à la la fréquence d'une stratégie. Laisser $N_i$ être la taille de la population de la stratégie $i$. Les stratégies dans la dynamique du réplicateur changent de façon exponentielle. L'équation de la croissance exponentielle continue est $dot N_i = f_i N_i$. Depuis $x_i=N_i/N$ et $dot N = ar f N$, calcul $point x_i$ en utilisant la règle du quotient nous donne le réplicateur continu eqn.


Aperçu des mathématiques

Un type de base de système dynamique est un système dynamique discret, dans lequel les variables d'état évoluent par pas de temps discrets. Nous avons utilisé des systèmes dynamiques discrets pour modéliser la croissance de la population, de la simple croissance exponentielle des bactéries à des modèles plus complexes, tels que la croissance logistique et la récolte des populations.

Parfois, le temps discret n'est pas une bonne description

Pour certaines applications, cependant, l'évolution en temps discret peut ne pas être la meilleure description des phénomènes. Par exemple, nous avons modélisé la croissance des bactéries avec un pas de temps de 16 minutes. L'intervalle de 16 minutes a été choisi en fonction de l'intervalle entre les mesures expérimentales, il ne reflétait aucune échelle de temps de la dynamique de la population bactérienne. Les bactéries ne se coordonnent pas et se divisent toutes en deux toutes les 16 minutes. Au lieu de cela, avec une grande population de bactéries, les bactéries se divisaient essentiellement de manière continue dans le temps, différentes bactéries se divisant à différents moments. La taille de la population augmentait continuellement dans le temps plutôt que de sauter toutes les 16 minutes. Peut-être pourrions-nous améliorer notre modèle en permettant aux variables dynamiques d'évoluer continuellement dans le temps.

Nous avons modélisé la croissance des bactéries à l'aide d'un modèle logistique de la forme egin X_-x_n = r ,x_n (1-x_n). étiqueter finir Pour plus de simplicité, nous avons défini la capacité de charge sur un. Avec cette notation, $x_n$ est la population bactérienne au pas de temps $n$, c'est-à-dire le $n$ième intervalle de temps de 16 minutes. Si nous écrivons ce modèle sous forme d'itération de fonction, il s'agit de $x_=f(x_n)$ où $f(x)=x+rx(1-x)$. Bien que ce ne soit même pas proche des paramètres que nous avons trouvés pour les données sur les bactéries, définissons $r=2.4$. Vous pouvez observer l'évolution du modèle en tapant $x+2,4x(1-x)$ dans l'applet d'itération de fonction. Définissez la condition initiale sur $x_0=0.01$. Vous devriez voir que la population, pour suffisamment de $n$, oscille entre des valeurs d'environ 0,64 et 1,19.

Itération de fonction. L'effet de l'application répétée de la fonction $f(x)$ à la valeur de départ $x_0$ est montré à la fois par la liste à droite et le graphique à gauche. Au début, seule la valeur initiale $x_0$ est affichée dans la liste et seul le point $(0,x_0)$ est affiché sur le graphique. (Dans l'en-tête de la liste, $x_n$ est écrit x_n.) Chaque fois que vous cliquez sur le bouton &ldquoiterate&rdquo, la fonction est itérée en appliquant $f$ à la valeur précédente, en utilisant la récursion $x_n = f(x_)$. Ensuite, la nouvelle itération $x_n$ apparaît dans la liste et le nouveau point $(n,x_n)$ apparaît sur le graphe. Notez que le nombre d'itérations $n$ est tracé sur l'axe horizontal (ce que vous pouvez normalement considérer comme l'axe $x$), et les valeurs de $x_$ sont tracés sur l'axe vertical (ce que vous pouvez normalement considérer comme l'axe $y$). Les valeurs de chaque $x_$ sont également marqués par des lignes horizontales et la dernière valeur $x_$ est étiqueté. Vous pouvez modifier la fonction $f(x)$ en tapant une nouvelle fonction dans la zone. Vous pouvez modifier le point initial $x_0$ en tapant une nouvelle valeur dans la case ou en faisant glisser le point bleu. Vous pouvez zoomer sur l'axe vertical avec les boutons + et - et vous déplacer vers le haut et le bas avec les boutons marqués par des flèches.

Passage au temps continu

Comme première étape pour s'éloigner de la restriction d'intervalle de 16 minutes, modifions la notation de notre modèle. Tout d'abord, soit $t$ le temps en minutes de sorte que $t= 16n$. Ensuite, plutôt que de noter les variables comme $x_n$ pour la taille de la population au pas de temps $n$, nous les noterons comme $x(t)$ pour la taille de la population au temps $t$. On peut réécrire l'équation eqref comme egin x(t+16)-x(t) = 2,4 ,x(t) (1-x(t)) end car augmenter $n$ d'un pas de temps revient à augmenter $t$ de 16 minutes.

Ce changement de notation nous aide à voir ce que nous pourrions faire si nous voulions proposer un modèle différent pour la croissance de la population par, disons, des intervalles de 8 minutes plutôt que des intervalles de 16 minutes. Bien que nous ne nous attendions pas à ce que le modèle soit exactement le même, nous pourrions dire que si le changement en 16 minutes est de $2.4 ,x(t) (1-x(t))$, alors le changement en 8 minutes pourrait être la moitié de cette quantité, ou quelque chose comme 1,2 $ x(t) (1-x(t))$. Il ne serait pas complètement fou de penser à un modèle pour des intervalles de huit minutes de la forme egin x(t+8)-x(t) = 1,2x(t) (1-x(t)). finir Pendant que nous y sommes, nous pourrions postuler un modèle pour des intervalles de quatre minutes en divisant à nouveau le changement par deux : egin x(t+4)-x(t) = 0,6 x(t) (1-x(t)). finir En continuant dans cette voie, on pourrait avoir toute une série de modèles, en continuant à diviser l'intervalle de temps et le changement par deux : egin x(t+2)-x(t) &= 0,3 x(t) (1-x(t)) x(t+1)-x(t) &= 0,15 x(t) (1-x (t)) x(t+0,5)-x(t) &= 0,075 x(t) (1-x(t)) end À ce stade, nous n'avons aucune raison de croire que ces modèles pourraient avoir un comportement similaire. Au lieu de faire une analyse mathématique compliquée pour savoir à quoi s'attendre, expérimentons simplement pour voir ce qui se passe.

Pour faire cette expérimentation facilement, nous devons d'abord réécrire ces modèles sous la même forme avec un paramètre $Delta t$ pour l'intervalle de temps. Ensuite, le changement de la taille de la population en un pas de temps est $x(t+Delta t)-x(t)$, où $Delta t$ est 16, 8, 4, 2, 1 ou 0,5 minutes. Puisque le changement pour $Delta t=1$ est de 0,15 x(t) (1-x(t))$ et que le fait de doubler $Delta t$ ne fait que doubler le changement, nous pouvons écrire toutes les équations ci-dessus sous la forme egin x(t+Delta t)-x(t) &= Delta t , 0,15 x(t) (1-x(t)) end ou, en divisant par $Delta t$, comme egin frac &= 0,15 x(t) (1-x(t)) label ag <3>end

L'applet suivante vous permettra d'explorer le comportement de ces différents modèles. La première étape consiste à reproduire le résultat obtenu avec l'applet d'itération de fonction ci-dessus et $Delta t = 16$. Définissez la condition initiale sur $x(0)=0,01$ et saisissez 0,15 x(1-x)$ pour la fonction. Lorsque $Delta t = 16$, vous devriez obtenir exactement les mêmes nombres que ci-dessus en utilisant $x_-X_ = 2.4x_n(1-x_n)$. La seule différence est que le temps sera en minutes plutôt qu'en nombre de pas de temps de 16 minutes. Vous devrez cliquer plusieurs fois sur le bouton -h pour dézoomer l'axe horizontal sur des durées plus grandes.

De l'itération de la fonction à l'évolution continue. L'évolution de l'équation aux différences $x(t+Delta t) - x(t) = Delta t , g(x(t))$ à des pas de temps discrets de longueur $Delta t$ est illustrée par un graphique de $x(t)$ contre $t$ ainsi que dans une liste à droite. Le format est presque identique à l'applet d'itération de fonction avec $f(x) = x+Delta t , g(x)$. Cliquer sur le bouton &ldquoiterate&rdquo calcule une valeur de $x(t+Delta t)$ pour le prochain pas de temps $t+Delta t$. Le bouton &ldquorefine&rdquo réduit de moitié le pas de temps $Delta t$ et double le nombre de points de temps afin que la même valeur finale $x(t)$ soit calculée avec des pas de temps plus petits. Vous pouvez également ajuster $Delta t$ indépendamment en tapant une valeur dans sa case. La fonction $g(x(t))$ est spécifiée en entrant une valeur dans la case cependant, pour que l'applet fonctionne, il faut taper les variables comme $x$ plutôt que $x(t)$. Lorsque la case &ldquodetails&rdquo est décochée, les points et les lignes indiquant les valeurs de $x(t)$ aux points discrets disparaissent, révélant juste un tracé de la fonction $x(t)$. Lorsque $Delta t$ est petit, $x(t)$ approche la solution de l'équation différentielle $diff = g(x)$. Vous pouvez zoomer sur l'axe horizontal avec les boutons +h et -h et sur l'axe vertical avec les boutons +v et -v. Vous pouvez effectuer un panoramique vers le haut et vers le bas avec les boutons étiquetés par des flèches.

Une fois que vous avez effectué ce contrôle de cohérence, il est temps de voir ce qui se passe si vous diminuez le pas de temps $Delta t$. Vous pouvez saisir une nouvelle valeur de $Delta t$, disons $Delta t=8$, puis cliquer plusieurs fois sur le bouton d'itération pour revenir aux mêmes valeurs temporelles. Ou, vous pouvez simplement cliquer une fois sur le bouton &ldquorefine&rdquo pour le faire automatiquement pour vous. Cliquer sur ce bouton divise par deux le pas de temps $Delta t$ et double le nombre de points dans le temps afin que la solution soit toujours calculée au même point de temps final $t$. Qu'observez-vous ? La solution $x(t)$ calculée aux intervalles $Delta t=8$ est-elle plus ou moins la même que la solution calculée aux intervalles $Delta t= 16$ ? Si cela semble différent, décrivez ces différences.

Continuez ce processus en affinant le pas de temps $Delta t$ à des valeurs de plus en plus petites. Étant donné que ce processus augmente le nombre de pas de temps, vous pouvez décocher la case &ldquodetails&rdquo afin de pouvoir voir la solution $x(t)$ sans que d'autres points et lignes ne l'encombrent. Décrivez les changements que vous observez lorsque vous diminuez $Delta t$ de 16 à 0,5. Le bouton &ldquorefine&rdquo disparaît si cliquer dessus créerait plus de 1000 points, il disparaîtra donc avant que vous n'atteigniez $Delta = 0.5$ si vous dépassiez $t=500$. Si cela se produit, modifiez manuellement $Delta t$ en valeurs plus petites ou cliquez sur &ldquoreset&rdquo pour recommencer. (Si vous réinitialisez, vous voudrez probablement augmenter $Delta t$ à quelque chose de plus grand comme 16 afin que vous n'ayez pas à cliquer sur &ldquoiterate&rdquo un gagillion de fois.)

La limite

Si tout s'est bien passé, vous devriez avoir trouvé qu'une fois que $Delta t$ est suffisamment petit, le rendre encore plus petit n'a pas beaucoup changé la solution $x(t)$. Ces expériences devraient rendre plausible que l'on puisse continuer à rendre $Delta t$ de plus en plus proche de zéro, et la solution $x(t)$ se rapprocherait de plus en plus d'une valeur limite. A quelle équation aboutissons-nous si nous prenons la limite comme $Delta o 0$ ?

La forme du membre de gauche de l'équation eqref devrait sembler vaguement familier. Si nous prenons la limite de ce membre de gauche en laissant $Delta t o 0$, qu'obtenons-nous ? On obtient la dérivée : egin lim_ frac = diff. finir Dans cette limite, l'équation aux différences eqref devient le équation différentielle commencer diff = 0,15 x(t) (1-x(t)). étiqueter ag <4>end Cette équation différentielle est une système dynamique continu. Comme le système dynamique discret d'équation eqref, il décrit l'évolution de la taille de la population. L'équation différentielle, cependant, décrit l'évolution continue dans le temps à chaque instant dans le temps, la taille de la population $x(t)$ changera un peu en fonction de la valeur de $diff$.

Maintenant, malheureusement, tout comme nous ne pouvions pas trouver une belle formule pour la solution de l'équation de différence $x_-x_n = 2.4x_n(1-x_n)$, nous ne pouvons pas non plus trouver une belle formule pour la solution de l'équation différentielle eqref. Pour l'équation de différence, nous pouvons de toute façon facilement calculer la solution en l'écrivant simplement sous forme d'itération de fonction et en utilisant un outil informatique (comme l'applet d'itération de fonction) pour cracher toutes les valeurs de $x_n$. Pouvons-nous faire quelque chose de similaire pour calculer la solution de l'équation différentielle eqref?

En fait, une façon d'explorer la solution d'une équation différentielle est de faire exactement ce que vous avez fait ci-dessus. Nous choisissons un petit pas de temps $Delta t$, approximons la dérivée par egin diff environ frac fin pour convertir l'équation différentielle en une équation aux différences. Sans le savoir, lorsque vous avez fait $Delta t$ petit ci-dessus, vous utilisiez une méthode bien connue (appelée la méthode d'Euler directe) pour approximer la solution de l'équation différentielle.

L'applet ci-dessus, cependant, est un peu lourde, car elle vous oblige à cliquer sur le bouton d'itération de fois. L'applet ci-dessous automatise un peu plus ce processus. Dans cette applet, il suffit de saisir le pas de temps $Delta t$, le temps initial $t_0$ et le temps final $t_f$. Ensuite, l'applet calcule automatiquement les itérations à partir de l'équation de différence egin frac = f(x(t)) end approximer la solution de egin diff = f(x(t)). finir Entrez l'équation différentielle eqref dans l'applet ci-dessous et vérifiez que vous obtenez les mêmes résultats pour les mêmes pas de temps $Delta t$ que vous avez obtenus dans l'applet ci-dessus. Dans l'applet ci-dessous, vous pouvez vérifier plus petit $Delta t

Modèle de croissance démographique exponentielle :


La croissance exponentielle de la population se produit lorsqu'une seule espèce n'est pas limitée par d'autres espèces (pas de prédation, de parasitisme, de compétition), les ressources ne sont pas limitées et les conditions environnementales sont constantes. Dans de telles conditions, la population croît de façon exponentielle à un pourcentage constant par temps. Une telle condition qui permet une croissance exponentielle d'une population s'appelle un vide écologique. Le vide écologique ne se produit pas souvent dans la nature pendant une longue période. Dans la nature, la croissance exponentielle de la population se produit généralement lors d'un rétablissement d'une population après une perturbation à grande échelle (incendie, épidémie, etc.).

Dans un modèle de croissance démographique exponentielle, le changement de la taille de la population peut être déterminé par les facteurs suivants.

Variation de la taille de la population au cours d'un intervalle de temps fixe = naissances au cours d'un intervalle de temps-décès au cours d'un intervalle de temps.

Taux de natalité:

Le taux de natalité ou taux de natalité est une mesure de la mesure dans laquelle une population se reconstitue grâce aux naissances.

Taux de mortalité:

Le taux de mortalité est le taux auquel une population perd des individus.

Les modèles de croissance démographique exponentielle peuvent être classés en :


Disons que nous tirons à pile ou face. Quels sont les résultats possibles ?

  • 1 flip : 2 résultats (H ou T)
  • 2 flips : 4 résultats (HH, HT, TH, TT)
  • 3 flips : 8 résultats (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)

Vous voyez où cela va. Je décrirais le nombre de possibilités comme $2^n$ où m était le nombre de flips.

J'utilise "n" (pas x) par convention : x pourrait signifier n'importe quelle valeur sur l'axe des x (-3, 1,234, $sqrt<14>$), tandis que n représente un entier (1, 2, 3 , 4).

Pourrait nous disons que le nombre de résultats était $e^$, où x était le nombre de lancers de pièces ? Oui. Mais c'est déroutant : dans un système créé par l'homme, où nous avons du changement événements, j'utiliserais la version discrète pour décrire les possibilités.


Discussion

L'équation du réplicateur et d'autres dynamiques de jeu déterministes sont devenues des outils essentiels au cours des 40 dernières années dans l'application de la théorie des jeux évolutionnaires aux modèles comportementaux dans les sciences biologiques et sociales. La théorie que nous avons résumée pour ces dynamiques suppose de grandes populations homogènes avec des interactions aléatoires. Les effets stochastiques (par exemple, basés sur des populations finies) et les effets des interactions non aléatoires (par exemple, les jeux sur des graphiques), qui sont devenus de plus en plus importants dans les modèles dynamiques de jeu (10, 11), dépassent le cadre de cet article.

Les exemples donnés dans cet article montrent que les concepts de solutions statiques de la théorie des jeux (par exemple, NE et ESS) jouent un rôle central dans la prédiction du résultat évolutif de la dynamique des jeux. A l'inverse, les dynamiques de jeu qui surviennent naturellement dans l'analyse de l'évolution comportementale conduisent à une compréhension plus approfondie des problèmes liés aux concepts statiques. C'est-à-dire que les approches classiques et évolutionnistes de la théorie des jeux bénéficient de cette interaction entre elles.

Par exemple, le jeu de reconnaissance de proies illustre à nouveau le potentiel des méthodes de la théorie des jeux pour mieux comprendre les problèmes qui se posent en écologie comportementale. Ici, il suggère comment le prédateur « apprend » son comportement de recherche de nourriture optimal à travers la dynamique du jeu, une question qui n'est pas souvent prise en compte dans la théorie de la recherche de nourriture optimale. D'autre part, l'analyse de ce jeu soulève également des questions importantes dans les applications de la théorie des jeux au comportement humain. Plus précisément, cet exemple considère l'effet du temps passé sur différentes interactions sur le comportement rationnel, un aspect qui devient de plus en plus central lorsque les individus ont une série d'interactions telles que celles modélisées par une forme extensive.


Revue SIAM sur les systèmes dynamiques appliqués

Un organisme sémelpare ne se reproduit qu'une seule fois dans sa vie et meurt ensuite. S'il n'y a qu'une seule possibilité de reproduction par an et que tous les individus nés une certaine année se reproduisent k ans plus tard, la population peut être divisée en classes d'âge selon l'année de naissance modulo k. La dynamique est décrite par un modèle matriciel non linéaire à temps discret, où la non-linéarité entre par le biais des taux de fécondité et de mortalité dépendant de la densité. Lorsque le rapport de reproduction est proche de un, la carte du cycle de vie complet peut être approchée par la solution d'une équation différentielle de type Lotka-Volterra, qui hérite de la symétrie cyclique présente dans la carte du cycle de vie complet . L'équation de Lotka-Volterra peut ensuite être réduite à l'équation du réplicateur sur le simplex de dimension $(k-1)$. Dans cet article, nous classons le répertoire de comportement dynamique pour $k=2,3$ et en dérivons une image presque complète pour $k=4$, avec quelques problèmes ouverts identifiés. Nous accordons une attention particulière à l'état de la classe d'âge unique (SYC) (toutes les classes d'âge sauf une sont absentes), aux modèles de classes d'âge multiples (avec plusieurs classes d'âge mais pas toutes présentes), aux cycles hétérocliniques et aux orbites périodiques.


Objectifs:

1) Étudier le taux de croissance de la population dans un environnement contraint.

2) Explorer divers aspects des modèles logistiques de croissance démographique, tels que le taux de croissance et la capacité de charge.

3) Comprendre les modèles de croissance discrets et continus à l'aide d'équations définies mathématiquement.

Capacite de transport: La plus grande population qui peut être soutenue indéfiniment, compte tenu des ressources disponibles dans l'environnement.

Nous tentons ici d'étudier la dynamique des populations, lorsqu'elles sont soumises à des contraintes telles que l'approvisionnement alimentaire limité, etc. Nous étudions également ces dynamiques en considérant l'existence d'une compétition intraspécifique (concurrence entre les individus d'une même espèce). Ce type de croissance démographique est appelé croissance logistique. La croissance logistique suppose que les systèmes croissent de façon exponentielle jusqu'à ce qu'une limite supérieure ou « capacité de charge » inhérente au système approche, moment auquel le taux de croissance ralentit et finit par saturer, produisant la courbe caractéristique en forme de S (Stone, 1980). Les modèles logistiques dépendent de la densité où le taux de croissance est égal au taux de natalité moins le taux de mortalité.

Lorsqu'une population reçoit beaucoup de nourriture, d'espace pour croître et qu'elle n'est pas menacée par les prédateurs, elle a tendance à croître à un taux proportionnel à la population, c'est-à-dire qu'à chaque unité de temps, un certain pourcentage d'individus produisent de nouvelles personnes.

La plupart des populations sont contraintes par des limitations de ressources mais ne peuvent pas être contraintes pour toujours. La figure ci-dessous (Fig. 1) montre deux parcours possibles pour la croissance d'une population, la courbe magenta suivant un modèle exponentiel (sans contrainte), la courbe orange contrainte de sorte que la population soit toujours inférieure à un certain nombre K. Lorsque la population est petite par rapport à K, les deux modèles sont pratiquement identiques, c'est-à-dire que la contrainte ne fait pas beaucoup de différence. Mais, pour la deuxième population, lorsque P devient une fraction significative de K, les courbes commencent à diverger, et lorsque P se rapproche de K, le taux de croissance tombe à 0. L'équation logistique est un modèle simple de croissance de la population dans des conditions où les ressources sont limitées. Lorsque la population est faible, elle croît de façon approximativement exponentielle. Ensuite, à mesure que les effets des ressources limitées deviennent importants, la croissance ralentit et se rapproche d'une valeur limite, la population d'équilibre ou la capacité de charge.

L'équation logistique est parabolique comme l'application quadratique avec f(0)=f(1)=0. Le comportement de l'équation logistique est plus complexe que celui de l'oscillateur harmonique simple. Le type d'orbite dépend du taux de croissance du paramètre, mais d'une manière qui ne se prête pas aux instructions "inférieur à", "supérieur à", "égal à". La meilleure façon de visualiser le comportement des orbites en fonction du taux de croissance est d'utiliser un diagramme de bifurcation. Le modèle de croissance logistique est une courbe en forme de S. En biologie et dans d'autres domaines, de nombreux processus présentent une croissance en forme de S. Habituellement, les courbes sont bien modélisées par la fonction de croissance logistique simple, qui a été introduite pour la première fois par Verhulst en 1845. Kingsland a fourni un historique complet des applications de la courbe logistique simple en écologie des populations, de ses succès et de ses échecs.

La croissance logistique peut s'expliquer de façon continue ou discrète.

Croissance discrète :

L'équation logistique suppose que le nombre attendu de descendants diminue linéairement avec la taille de la population. L'équation de la croissance logistique est la suivante :

Ici, Nt+1 fait référence au nombre d'individus dans la prochaine génération,
Nt désigne le nombre d'individus dans la génération actuelle,
Rm fait référence au taux de croissance maximal,
K est la capacité de charge.

Où, le terme (K-Nt)/K est presque égal à K/K ou 1. Le modèle se comportera alors comme un modèle géométrique, et la population augmentera, pourvu que R>1. La population augmentera lentement au début, car le paramètre R est également multiplié par un nombre (Nt) presque égal à zéro, mais il augmentera de plus en plus vite, au moins pendant un certain temps. À un moment donné, cependant, la croissance démographique commencera à ralentir parce que le terme (K-Nt)/K devient de plus en plus petit à mesure que Nt grandit et se rapproche de K. L'équation discrète montre que le comportement d'une population est déterminé conjointement par Rm et K, le taux d'augmentation par habitant et la capacité de charge de la population. Le comportement de la population est considéré comme étant conjointement déterminé par deux propriétés des individus qui la composent : leur taux d'accroissement intrinsèque par habitant et leur susceptibilité au surpeuplement, Ra et a. La capacité de charge de la population (K=(R-1)/a) est alors simplement le résultat de ces propriétés.

Croissance continue :

Le modèle de croissance logistique en temps continu part de l'hypothèse que chaque individu se reproduit à un rythme qui décroît en fonction linéaire de la taille de la population. L'équation du modèle en temps continu est illustrée ci-dessous :

Ici, rm est le taux de croissance maximal,

N est le nombre d'individus,

K est la capacité de charge.

Les tailles de population inférieures à K, la population augmentera en taille : à des tailles de population supérieures à K, la taille de la population diminuera et à K lui-même, la population n'augmentera ni ne diminuera. La capacité de charge est donc un équilibre stable pour la population, et le modèle présente les propriétés régulatrices classiquement caractéristiques de la compétition intraspécifique. Pour le modèle à temps continu, la naissance et la mort sont continues. Le taux net d'une telle population sera noté dN/dt. Cela représente la 'vitesse' à laquelle une population augmente en taille, N, à mesure que le temps, t, progresse. Il décrit une courbe de croissance sigmoïde approchant une capacité de charge stable, mais ce n'est qu'une des nombreuses équations raisonnables qui le font (voir Fig. 2).


1) Si K était l'infini, N[t]/K serait nul et la croissance de la population suivrait l'équation de la croissance exponentielle.

2) Si la taille de la population, N[t] était beaucoup plus petite que la capacité de charge K, alors N[t]/K serait petit. Dans ce cas, la population augmenterait de manière presque exponentielle (jusqu'à ce que la taille de la population ne soit plus beaucoup plus petite que K).


Contenu : données discrètes et données continues

Tableau de comparaison

Base de comparaisonDonnées discrètesDonnées continues
SensLes données discrètes sont celles qui ont des espaces clairs entre les valeurs.Les données continues sont celles qui tombent sur une séquence continue.
La natureDénombrableMesurable
ValeursIl ne peut prendre que des valeurs distinctes ou séparées.Il peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle.
Représentation graphiqueGraphique à barresHistogramme
La tabulation est connue sous le nomDistribution de fréquence non groupée.Distribution de fréquence groupée.
ClassificationMutuellement inclusifMutuellement exclusif
Graphique de fonctionAffiche des points isolésAffiche les points connectés
ExempleJours de la semainePrix ​​du marché d'un produit

Définition des données discrètes

Le terme discret implique distinct ou séparé. Ainsi, les données discrètes font référence au type de données quantitatives qui reposent sur des dénombrements. Il ne contient que des valeurs finies, dont la subdivision n'est pas possible. Il comprend uniquement les valeurs qui ne peuvent être comptées qu'en nombres entiers ou entiers et sont séparées, ce qui signifie que les données ne peuvent pas être décomposées en fractions ou en nombres décimaux.

Par exemple, Le nombre d'élèves dans l'école, le nombre de voitures dans le parking, le nombre d'ordinateurs dans un laboratoire informatique, le nombre d'animaux dans un zoo, etc.

Définition des données continues

Les données continues sont décrites comme un ensemble ininterrompu d'observations qui peuvent être mesurées sur une échelle. Il peut prendre n'importe quelle valeur numérique, dans une plage finie ou infinie de valeurs possibles. Statistiquement, la plage fait référence à la différence entre l'observation la plus élevée et la plus faible. Les données continues peuvent être décomposées en fractions et décimales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être subdivisées de manière significative en parties plus petites en fonction de la précision de la mesure.

Par exemple, Âge, taille ou poids d'une personne, temps nécessaire pour accomplir une tâche, température, temps, argent, etc.


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Difference Between Discrete and Continuous Variables

In statistics, a variable is an attribute that describes an entity such as a person, place or a thing and the value that variable take may vary from one entity to another. For example, if we let the variable Y be the grade of a student at an exam, Y can take the values A, B, C, S and F. If we let the variable X be the height of a student in a class, then it can take any real value within a range.

From these two examples, it can be seen that there are two types of variables as quantitative and qualitative depending on whether the domain of the variable is numeric with normal arithmetic operations possible or not. Those quantitative variables are of two types: discrete variables and continuous variables.

What is a discrete variable?

If the quantitative variable can take only an at most countable number of values, then such data is called discrete data. In other words, the domain of the variable should be at most countable. An at most countable number is either finite or countable. An example will illustrate this further.

A five question test is given to a class. Let X be the number of correct answers a student gets. The possible values of X are 0, 1, 2, 3, 4, and 5 only 6 possibilities, and it is a finite number. Therefore, X is a discrete variable.

In a game, one has to shoot a target. If we let Y be the number of times one shot until he hit the target, then the possible values of Y will be 1, 2, 3, 4 … and so on. Theoretically, these values need not have a finite limit. But these values are countable. Hence, the variable Y defined as “the number of times one shot until he hit the target” is a discrete variable.

From these two examples, it can be seen that discrete variables often defined as counts.

What is a continuous variable?

The quantitative variable that can take all the possible values within a range is called continuous data. Therefore, if the domain of a continuous variable is the interval (0, 5), then the variable can take any real number value in between 0 and 5.

For example, if we define the variable Z to be the height of a student in a class, then the variable Z can take any real number value within the range of height of humans. Thus, Z is a continuous variable, but if we add an additional restriction as “a student’s height to the nearest centimeter”, then the variable Z will be discrete since it can take only a finite number of values.

From this, it can be seen that normally a continuous variable is defined as a measurement.

What is the difference between discrete variable and continuous variable?

• The domain of a discrete variable is at most countable, while the domain of a continuous variable consists of all the real values within a specific range.

• Usually discrete variables are defined as counts, but continuous variables are defined as measurements.


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